Естественные науки отвечают за изучение природных, "естественных" процессов, и пытаются формализовать законы, по которым "мир работает". Назовём это так. Все законы, которые естественные науки нам открывают, - являются по сути лишь предположениями (как правило, подтверждёнными многочисленными опытами). Для примера, согласно ньютоновской механике, скорость падения тела, выпущенного падать с высоты h, в момент столкновения с землёй будет равна (2gh)^0.5, казалось бы. Мы привыкли так считать. Мы используем эти формулы в расчётах. Являются ли они верными? Нет.
Эта формула не учитывает зависимость g от расстояния до центра земли, по сути, h. Эта формула не учитывает сопротивление воздуха и тысячу других факторов. Эта формула не будет работать на околосветовых скоростях. Любой учёный-естественник, применяя законы из своей области науки, понимает, что эти законы ни в коем случае не являются истиной. Это всего лишь предположения, которые до сих пор работали, но если они перестанут работать - то это просто замечательно! Значит, мы придумаем новые законы, более точные, лучше описывающие картину мира.
Математика же является "формальной наукой", которую отличает от естественной то, что она не пытается описать реальный мир. В математике мы сами вводим системы аксиом и сами строим из них некий виртуальный мир, который на самом деле не имеет ничего общего с реальным. Математика - это некая вещь в себе, абсолютно ни к чему не привязанная.
Мы сами придумали ноль и единицу, мы сами придумали операцию сложения - мы сами определили то, что называется натуральными числами. Используя натуральные числа, мы сами определили целые, рациональные, действительные, мнимые, алгебраические, трансцендентные и всякие разные другие числа.
Число - это то, что мы назвали числом. Числовая система - это система, построенная на аксиомах, которые мы назвали верными для этой системы. В любой числовой системе по определению не может быть "пропущенного числа" - если оно не входит в указанную систему, то оно просто в неё не входит, и всё.
Если же система оказывается неправильной, если мы когда-то давно признали верными противоречащие друг другу аксиомы, то.. значит, мы когда-то давно признали верными противоречащие друг другу аксиомы, и ничего больше. Значит, нужны новые аксиомы, на которых будет построена новая числовая система. Мир не рушится, самолёты не падают, мы живём дальше.
Подобные вещи, надо сказать, уже случались. В начале 20го века мат.логика довольно серьёзно пошатнулась от парадокса Кантора, который показывал противоречивость теории множеств, использующейся в тот момент. С помощью костылей теория множеств смогла удержаться, но буквально через пару лет парадокс Рассела разбил её в пух и прах - и после этого пришлось, буквально, заново придумывать математику. Придумали, используем, не жалуемся.